Les sujets de l'Atelier Mathématique 2016

Cette année, 11 étudiants de MPSI sont inscrits à l'Atelier, qui est OUVERT aux lycéennes et aux lycéens également !

 

En début d'année, Vincent GUIRARDEL, professeur à l'Université de Rennes 1 leur a proposé de réfléchir à quatre sujets.

 

 

Sujet 1 : nombres infinis ( Alexis SANTORO, Anthonin MARTINEL, Coralien PINCK, Quentin DEPOORTERE)

Les nombres entiers naturels s'écrivent avec un nombre fini de chiffres. On s'intéresse ici aux nombres que l'on peut écrire avec une infinité de chiffres. L'ensemble de ces "nombres infinis" contient l'ensemble des entiers naturels, puisqu'on peut écrire par exemple : 48= ...000000000000048.
Les opérations d'addition, de multiplication entre nombres infinis se font comme d'habitude (avec des retenues), pourtant l'ensemble des nombres infinis réserve quelques surprises !
Les nombres infinis contiennent-ils des entiers relatifs négatifs, des nombres rationnels ? Si oui, peut-on toujours effectuer une soustration, une division ?
 

 

Sujet 2 : je numérote, tu choisis (Amaury CURE, Axel BOURDEAU, Ronan LE BASTARD)

 

On aligne n cartes sur une table, la valeur de chaque carte est visible. À chacun son tour, deux joueurs A et B choisissent une carte à l'une des deux extrémités jusqu'à ce qu'il n'en reste plus aucune. On compte alors la somme des valeurs des cartes ramassées par chacun. Le gagnant est celui qui a ramassé le plus de points.

Existe-t-il une stratégie gagnante pour le premier joueur, A ? Qu'en est-il si c'est le deuxième joueur, B, qui attribue une valeur aux cartes ? Et si les cartes ne sont plus disposées en ligne, mais en cercle ?
  
 

Sujet 3 :Garer sa voiture (Corentin RICHARD, Florian OLERON)

 

On décompose la trajectoire d'une voiture à pédale en une succession de phases :

  • Avancer de la longueur L. Le "pilote" fournit une énergie égale à L.

  • Tourner le volant. L'énergie necessaire est égale à la valeur absolue de la différence de courbure.

En 3 mouvements, il est ainsi possible de faire demi-tour. Quelle trajectoire la voiture devra-t'elle suivre pour réaliser un demi-tour avec un minimum d'énergie pour le conducteur ?

 

 

Sujet 4 : le jeu du Casse-brique (Samuel WRIGHT et Killian LE MAU)

 

On joue au casse-brique : on lance une balle qui rebondit sur les murs et lorsqu'elle touche une brique, elle est détruite. Mais notre jeu est un peu spécial. La balle rebondit également sur le sol : elle rebondit donc indéfiniment ! Le rôle du joueur est simplement de choisir une position et une direction initiales, il n'intervient plus ensuite. On suppose que la hauteur du mur de briques est infinie.
Pour quelles directions et quelles positions initiales la balle détruira-t'elle toutes les briques. aucontraire, existe-t'il des positions et des directions pour lesquelles certaines briques ne seront jamais détruites ?

 

 

 

 

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